e (niver)

E matematik ez eo e un digemmenn a grog e skrivad degel gant 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…. Diaz al logaritm naturel eo.

Anvadur :

• $e$ a vez anvet a-wechoù digemmenn Neper, eus anv ar matematikour skosad John Napier (pe Neper) en deus degaset al logaritm.
• $e$ a voe anvet niver eksponantel gant Euler e 1761.

Istor

An niver $e$ a zo sur-walc'h an digemmenn real bouezusañ e matematik goude pi : kavet e vez e normalizadur ar fonksionoù eksponantel. Diaes eo deiziañ ar wech kentañ m'eo deuet a-wel el lennegezh. E gwirionez, goude ma vefe bet degaset al (logaritm]] gant Neper evel rekipe jediñ evit aesaat jedadenn ar sinus, ar c'hosinus, ar produ hag ar rannad, met ne roas diaz resis ebet evit al logaritmoù-se hag al logaritmoù dezho an diaz 10 eo ar re a veze kavet peurliesañ d'ar mare-se.

Al logaritmoù naturel a zeuas war-wel evit ar wech kentañ e 1618 evel stagadenn da dretad Napier, skrivet gant William Oughtred sur a-walc'h.

E 1624 e roas Briggs un talvoud nesaet eus logaritm degel un niver ne zeue ket a-benn d'anavezout en un doare resis, met a ziskouezas bezañ $e$.

Ar gorread dindan an hiperbolenn a zo kevatal da 1 war ar spasamant [ 1 ; e ].

E 1647 e jedas Grégoire de Saint-Vincent ar gorread dindan an hiperbolenn, met ne anata ket an niver $e$.

E 1661 e voe gouest Huygens d'ober al liamm etre ar gorread dindan an hiperbolenn hag ar fonksionoù logaritm. Dre m'eo $e$ an niver real e doare ma vefe ar gorread dindan an hiperbolenn etre 1 hag $e$ kevatal da 1 ez eo posupl e vefe bet merzet an niver-se d'ar c'houlz-se, hep ma vije komzet eus outañ evel diaz al logaritm naturel avat.

Ar wech kentañ ma teuas $e$ a-wel evel niver heverk a zo e 1683, d'ar mare ma veze dedennet Bernoulli gant ar jedadoù interest. Ar pezh a gasas anezhañ da studiañ bevenn an heulienn $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$. Met den ebet d'ar c'houlz-se ne ra al liamm etre an niver-se hag al logaritm naturel. Padal ez eo e-pad ar c'houlz-se ma voe kroget da verzout ez eo ar fonksion logaritm dezhi an diaz $a$ resiprokenn ar fonksion eksponantel dezhi an diaz $a$. Prest e oa neuze kumuniezh ar skiantourien da zizoleiñ $e$. A-benn ar fin ez eo en ul lizher eus Leibniz da Huygens e voe anavezet an niver-mañ evel diaz al logaritm naturel, met anvet e voe $b$ gant Liebniz.

Gant Euler e voe degaset en an notadur $e$ evit an digemmenn-se en ul lizher a gasas da Goldbach e 1731. Meur a vartezeadenn a zo bet savet da zisplegañ choaz al lizherenn $e$ : $e$ evit Euler ? $e$ evit eksponantel ? pe marteze e oa $e$ ar c'hentañ vogalenn vak e labour Euler.

Euler eo ivez a ro diorren $e$ e serienn

$e=1+{\dfrac {1}{1!}}+{\dfrac {1}{2!}}+\cdots +{\dfrac {1}{k!}}+\cdots$

hag e kevrenn gendalc'hus :

$e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}$

Dre m'en deus $e$ un diorren e kevrenn gendalc'hus anfin ez eo un niver anrasional. Gant aproksimantoù Padé e c'heller kinnig eztaolioù niverus eus e dindan stumm ur gevrenn gendalc'hus hollekaet. Gallout a ra neuze da Charles Hermite prouiñ trehonted an niver-se e 1873.

Sifroù goude ar virgulenn anavezet

Kresket eo an niver a zegelennoù anavezet eus $e$ (an niver a sifroù goude ar virgulenn) en un doare bamus e-kerzh an dekvedoù diwezhañ. Daou abeg da se war un dro : galloud an urzhiaterezioù o vont war gresk hag an algoritmoù o vont war wellaat.

Niver a sifroù goude ar virgulenn anavezet evit e

Deizad	Sifroù anaveset	A-drugarez da
1748	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1946	808	?
1949	2 010	John von Neumann (gant an l'ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks & John W. Wrench
1981	116 000	Stephen Gary Wozniak (gant an Apple II)
1994	10 000 000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mae 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Eost 1997	20 000 000	Birger Seifert
Gwengolo 1997	50 000 817	Patrick Demichel
C'hwevrer 1999	200 000 579	Sebastian Wedeniwski
Here 1999	869 894 101	Sebastian Wedeniwski
21 Du 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 Gouere 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 Gouere 2000	3 221 225 472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2 Eost 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 Eost 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 Eost 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 Gwengolo 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 Ebrel 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
6 Mae 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

Termenadur ha perzh

Termenadurioù e

An displegadennoù a-us a ziskouez e c'hell $e$ bezañ skrivet e meur a zoare disheñvel.

• $e$ eo an niver real gant $\ln(e)=1$ pa dermener ar fonksion $\ln$ evel primitivenn ar fonksion $x\mapsto {\tfrac {1}{x}}$ a zo nullet en 1. Setu perak ez eo anvet ar fonksion-se diaz al logaritmoù naturel.
• $e$ eo an niver real gant $\exp(1)=e$ pa dermener ar fonksion $\exp$ evel fonksion nemeti a wir $u'=u$ hag $u(0)=1$.
• $e$ eo bevenn an heulienn $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$.
• $e$ a zo par da sammad ar serienn anfin $\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{k!}}$ (gant ar c'henemglev $0!=1$).

Ekwivalañs ar pevar zermenadur-se a zeu eus al liammadennoù etre ar fonksion eksponantel, ar fonksion logaritm ha bevenn an heuliennoù.

Teorienn an niveroù

Leonhard Euler

Digemmenn Neper a gaver stank e teorienn an niveroù. Ar vatematikourien a zo bet dedennet abred-tre gant natur an niver $e$. Anrasionalder $e$ a zo bet diskouezhet gant Euler e 1737 hag anrasionalder e c'halloudoù anterin gant Lambert e 1761. Ar brouadenn a c'heller ober gant an diorren e serienn (gwelet prouadur anrasionalder e amañ dindan), pe gant an diorren e kevrenn gendalc'hus.

Prouadur trehonted $e$ a voe diazezet gant Hermite e 1873. Deduiñ a reer alese ez eo $e^{r}$ trehontel ivez evit forzh peseurt niver rasional $r$ nann null (an niveroù anterin hag all), met ne ouier ket c'hoazh (2007) hag-eñ ez eo $e^{e}$ trehontel pe get.

War berzhioù an niver-se eo diazezet teorem Lindemann-Weierstrass.

Konjekturet ez eus bet ez eo $e$ un niver normal

Fonksion eksponantel ha kevatalenn diferañsial

Evit forzh peseurt niver real $x$, $\exp(x)=e^{x}$ 'lec'h m'eo $\exp$ ar fonksion $y$ nemeti a wir ar gevatalenn diferañsial $y'=y$ ha $y(0)=1$. Ober a reer fonksion eksponantel dezhi an diaz $e$ eus ar fonksion-se.

Ganti e c'heller reiñ holl diskoulmoù ar gevatalenn diferañsial $y'=ay$ hag a zo ar fonksionoù termenet gant $f(x)=Ce^{ax}$.

An diorren e serienn a-heul a zo d'ar fonksion eksponantel :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}$

Fonksion drigonometrek

Gant klask an diskoulm kompleksel nemetañ d'ar gevatalenn diferañsial $u'=iu$ ha $u(0)=1$ e vezer kaset d'ar fonksion $u(x)=e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ ha da identelezh Euler :

$e^{i\pi }+1=0$

a zo hervez Richard Feynman ar "formulenn heverkañ er bed" (e o tiskouez an analizerezh, i an aljebr, $\pi$ ar c'heometriezh, 1 an aritmetik hag an niver 0 ar matematik). Euler e-unan a vefe chomet bamet ivez gant al liammadenn-se, pemp niver diazez enni : 0, 1, ${e}$, ${i}$, ${\pi }$.

Prouadur anrasionalder e

An niver $e$ a zo kevatal da sammad serienn eksponantel 1 :

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}$

An diorren-se a c'heller implijout evit diskouez ez eo anrasional.

Proueadur dre zislavar (ab absurdo). Goulakomp ez eus daou niver anterin $a$ ha $b$ e doare ma vefe $e={\tfrac {a}{b}}$, gant $a$ pozitivel strizh ha $b$ brasoc'h strizh eget 1.

Pledomp gant an niver

$x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)$

Prouet e vo ez eo $x$ un niver anterin pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, ha gant an dislavar-se e vo diazezet anrasionalder $e$.

• Evit gwelet ez eo $x$ un niver anterin, merzomp ez eo

$x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\dfrac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=a{\dfrac {b!}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {b!}{n!}}$

Hogen, $b$ a rann $b!$ hag, evit forzh peseurt niver anterin $n$ etre 0 ha $b$ ez eo $b!$ rannapl dre $n!$, ar c'hementadoù ${\tfrac {b!}{b}}$ ha ${\tfrac {b!}{n!}}$ a zo neuze anterin, $x$ a zo neuze anterin evel sammad ha diforc'h niveroù anterin.

• Evit gwelet ez eo $x$ un niver pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, merzomp ez eo

$x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}$ ha dre se

$0<x={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

$<{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{2}}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={\dfrac {1}{b}}\ <1$

Amañ ez eo ar sammad diwezhañ-mañ ur serienn c'heometrek ${\dfrac {1}{b+1}}$ he faz.

Dre ma n'eus niver anterin ebet pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1 ez eus un dislavar, ha dre se ez eo $e$ anrasional.

Gwelet ivez

Liammoù diabarzh

• Eksponantel
• Logaritm