Niver kentael

Krogit e-barzh !
Un danvez pennad eo ar pennad-mañ ha labour zo d'ober c'hoazh a-raok e beurechuiñ.
Gallout a rit skoazellañ Wikipedia dre glokaat anezhañ. 

Niver	Rannerioù
6	1 · 2 · 3 · 6
7	1 · 7
8	1 · 2 · 4 · 8
9	1 · 3 · 9
7 zo un niver kentaelpeogwir en deus rik daou ranner muiel.

Niver kentael a reer e matematikoù eus un niver anterin muiel en deus rik daou ranner diforc'h, anterin ha muiel – a zo neuze 1 hag eñ e-unan.
Gant an termenadur-se e lezer 1 er-maez pa n'en deus nemet ur ranner anterin muiel. War an tu gin e lavarer ez eo kenaozet an niveroù nann null, anezho liesad daou niver anterin naturel disheñvel diouzh 1. Da skouer ez eo kenaozet 6 = 2 × 3, evel 21 = 3 × 7 pe 7 × 3, met kentael eo 11 peogwir ez eo 1 hag 11 rannerioù nemeto 11. N'eo an niveroù 0 hag 1 na kentael, na kenaozet. Setu amañ da heul an 30 niver kentael kentañ :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 ha 113.

Hevelep listennoù a c'heller sevel gant hentennoù jediñ diseurt. Abaoe an Henamzer e ouezer ez eus un niver anfin a niveroù kentael. An niver-Mersenne kentael « 2^43 112 609-1 », a zo bet kavet e 2008, hag a zo tost da 13 milion a sifroù en e skrivad degel, a oa an niver kentael brasañ a anavezed betek ar 7 a viz Genver 2016, pa voe kavet 2^{70 207 281} – 1 ; 22 338 618 sifr zo ret evit e skrivañ.

Ur meizad diazez eo meizad an niver kentael en aritmetik elfennel : kadarnaat a ra teorem diazez an aritmetik e c'heller faktorañ pep niver kenaozet en ul liesad faktorioù kentael, ha n'eus nemet ur faktoradur a seurt-se hepken pa lakaer urzh ar faktorioù a-gostez. Hollekadurioù anezhañ a gaver e skourroù araokaetoc'h eus ar matematik, evel teorienn aljebrek an niveroù.
Meur a implij greantel eus an aritmetik zo diazezet war anaoudegezh algoritmel an niveroù kentael, hag a-wezhioù war an diaes m'eo diskoulmañ ar c'hudennoù stag outo pergen : lod reizhiadoù sifrañ ha hentennoù treuzkas stlennadoù, da skouer. Implijet e vez ivez an niveroù kentael evit sevel taolennoù hachañ hag evit ober ganerioù niveroù brizhankivil.

Istor

Diaes-kenañ eo kavout ur formulenn evit kavout an holl niveroù kentael. Abred-tre en Istor Mab-Den ez eus bet klasket ober, hogen hini ebet eus ar formulennoù-se ne yae en-dro dre ma 'z eo dizingal an hed etre an niveroù kentael. Bez' ez eus bet kavet formulennoù, hogen faos e oa al lodenn vrasañ anezho, ar re vrudetañ o vezañ niveroù Mersenne ha Fermat. Hiziv an deiz n'eus formulenn ebet a ro un niver kentael dre ar jediñ. Ret eo tremen dre algoritmoù, evel ma oa bet graet gant Eratosthenes.

Enklaskoù

Eratosthenes : an niveroù kentael bihanoc'h eget 120

An algoritmoù kentañ evit divizout hag-eñ ez eo kentael an niver a bleder gantañ (a vez graet testoù kentaelded anezho) a zo klask e rannañ dre an holl niveroù bihanoc'h eget e wrizienn garrez : kenaozet eo mard eo rannadus dre unan anezho, kentael eo a-hend-all. Met gallout a reer efedusaat an algoritm-se : un toullad mat a rannadennoù a c'heller ober hepto ; mar n'eo ket rannadus an niver dre 2 da skouer n'eus ket ezhomm arnodiñ hag-eñ ez eo rannadus dre 4. Evit gwir ez eo trawalc'h arnodiñ e rannaduster dre an holl niveroù kentael bihanoc'h eget e wrizienn garrez.

Krouer Eratosthenes zo un hentenn diazezet war ar bennreolenn-se hag a ro listenn an niveroù kentael bihanoc'h eget ur talvoud roet n (n = 120 er fiñvskeudenn amañ e-kichen) :

• sevel a reer listenn an niveroù anterin naturel eus 2 da n ;
• derc'hel a reer e-giz « niver kentael » an niver kentañ n'eo ket barrennet el listenn (2 eo an hini kentañ en degouezh-mañ) ;
• barrennañ a reer an holl niveroù anterin a zo lieskementoù eus an niver dalc'het er bazenn gent, o kregiñ gant e garrez (barrennet eo bet 2*i, 3*i, ...(i-1)*i c'hoazh peogwir ez int lieskementoù eus de 2, 3, ...) ;
• seveniñ a reer an div oberiadenn ziwezhañ, da lavaret eo : delc'her an niver nann barrennet da zont ha barrennañ e lieskementoù ;
• kerkent ha m'eo brasoc'h karrez an niver dalc'het eget n e chomer a-sav gant an algoritm ; an niveroù a chom nann barrennet er fin eo neuze an niveroù kentael bihanoc'h eget n.

Niveroù kentael dibar

Marin Mersenne

Niveroù-Mersenne kentael

An niveroù notet M_p = 2^p - 1, p e-unan o vezañ un niver kentael, a vez graet « niveroù-Mersenne kentael » anezho, diwar anv ur matematikour gall eus ar XVII^vet kantved, Marin Mersenne (1588-1648). Alies e vez klasket an niveroù kentael bras er stumm-se rak bez' ez eus un test efedus, test kentaelded Lucas-Lehmer, evit gouzout hag-eñ ez eo kentael pe get an niveroù a-seurt-se.

Setu amañ niveroù-Mersenne kentael kentañ :

• 3 = 2² - 1
• 7 = 2³ - 1
• 31 = 2⁵ - 1
• 127 = 2⁷ - 1

Padal 2047 = 2¹¹ - 1 n'eo ket kentael, rak 2047 = 23 × 89. Un niver-Mersenne eo hogen n'eo ket kentael.

Mersenne n'en deus ket ijinet an niveroù-se, n'en deus ket ijinet ar formulenn. Savet en deus ul listenn eus an niveroù kentael-se dre ar formulenn, hogen faziet eo bet : da skouer, M⁶⁷ = 2⁶⁷ -1 hag M²⁵⁷ = 2²⁵⁷ -1 n'int ket kentael, padal n'emañ ket M⁶¹, M⁸⁹ hag M¹⁰⁷, a zo kentael, en e listenn.

E 2010 ez eo M_43 112 609 = 2^43 112 609-1 an niver-Mersenne kentael brasañ a anavezer, gant 12 978 189 sifr en e skrivad degel. Bez' e oa ar 45vet niver-Mersenne kentael bet dizoloet, hag embannet e oa bet an dizoloadenn anezhañ d'an 23 a viz Eost 2008 a drugarez da strivoù raktres kenlabourus ar jediñ dasparzhet « Great Internet Mersenne Prime Search » (GIMPS). Bihanoc'h eget ar 45vet eo ar 46vet niver-Mersenne kentael, 2^37 156 667-1, a voe dizoloet pemzektez goude ; d'an 12 a viz Ebrel 2009 e voe dizoloet gant ar memes raktres GIMPS, ar 47vet niver-Mersenne kentael, 2^{42 643 801}-1, hag a zo eñ ivez un "tammig" bihanoc'h eget an hini meneget da gentañ.

Pierre de Fermat

Niveroù-Fermat

Niveroù-Fermat, diouzh anv ar matematikour gall Pierre de Fermat (c. 1607-1665), a vez graet eus an niveroù anterin naturel a c'heller skrivañ er stumm 2²ⁿ + 1. Notet e vezont F_n. Setu amañ ar re gentañ anezho :

• F₀ = 2²⁰ + 1 = 2¹ + 1 = 3
• F₁ = 2²¹ + 1 = 2² + 1 = 5
• F₂ = 2²² + 1 = 2⁴ + 1 = 17
• F₃ = 2²³ + 1 = 2⁸ + 1 = 257
• F₄ = 2²⁴ + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65 537

Pierre de Fermat en devoa savet ur martezead o lavarout e oa kentael an holl niveroù er stumm 2²ⁿ + 1 . Hogen buantre e voe prouet gant ur skouer enep e oa faos ar martezead rak n'eo ket kentael F₅, hag ouzhpenn-se n'eus niver-Fermat ebet etre F₅ hag F₃₂ a gement a vije kentael. F₀, F₁, F₂, F₃ hag F₄ eo neuze an niveroù-Fermat kentael nemeto a anavezer rak n'ouezer ket hag-eñ eo kentael an niveroù-Fermat adalek F₃₃.

Hiziv an deiz n'anavezer nemet pemp niver-Fermat hag a zo kentael : ar pemp kentañ meneget a-raok. F₃₃ eo an niver-Fermat bihanañ ha n'ouezer ket ha kentael eo pe get.

Gant ar matematikour suis Euler (1707-1783) e oa bet prouet e 1732 ne oa ket ket gwir martezea Fermat : F₅ = 2²⁵ + 1 = 2³² + 1 = 4 294 967 297, un niver ha n'eo ket kentael peogwir ez eo rannadus dre 641 : 4 294 967 297 ÷ 641 = 6 700 417.

Niveroù kentael gevell

An niveroù kentael gevell zo koubladoù niveroù kentael gant un diforc'h a 2 etrezo, eleze an diforc'h bihanañ a c'heller kaout etre daou niver kentael hep kontañ ar c'houblad (2 ; 3).
Kement-se a c'heller skrivañ evel-henn :

bezet an daou niver n ha p, gant n > p ; niveroù gevell int mar hag hepken mar bez ar gevatalenn n = p + 2.

Setu amañ ar c'houbladoù niveroù kentael gevell bihanañ : (3 ; 5) , (5 ; 7) hag (11 ; 13). Bez' ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell hogen ne vezont ket dasparzhet ez-reoliek.
Perzhioù dibar zo gant an niveroù gevell, da skouer :

• ar c'houblad (2 ; 3) eo ar c'houblad nemetañ gant daou niver gevell diouzh renk – merkit n'eo ket 3 kevatal da 2 + 2 ;
• pa lezer ar c'houblad (2 ; 3) a-gostez ez eo 2 an diforc'h bihanañ etre daou niver kentael ; daou niver kentael gevell a zo daou niver ampar kenheuliek eta ;
• pep koublad niveroù kentael gevell (p ; n) hep kontañ an daou goublad bihanañ (2 ; 3) ha (3 ; 5) a c'hell bezañ skrivet dindan ar stumm (6n - 1 ; 6n + 1), n o vezañ un niver anterin bennak. Rak e-barzh pep heuliad tri niver ez eus ul lieskement eus 2 d'an nebeutañ, hag ul lieskement eus 3 hepken ; kendeuzet eo an daou lieskement-se etre an daou niver kentael gevell ;
• setu ar c'houblad niveroù kentael gevell brasañ a anavezer : 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1. Gant 100 355 sifr e vez skrivet o skrivad degel, ha dizoloet e voent gant Peter Kaiser ha Keith Klahn eus Twin Prime Search e miz Eost 2009 ;
• Martezeadet ez eus bet ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell met biskoazh n'eo bet prouet.