Logaritm

Eus Wikipedia
Mont da : merdeiñ, klask
Eztaoladenn grafikel eus al logaritm dekvedennel (gwer), al logaritm neperian (du) hag al logaritm binarel (glas)

E matematik, ur fonksion logaritm a zo ur fonksion f termenet war \R^*_+ gant talvoudoù e-barzh \R, kendalc'hus, nann digemm, hag o treuzfurmiñ ul liesad en ur sammad, da lâret eo o wiriañ :

\forall a, b \in \R^*_+,\ f(a\cdot b)=f(a)+f(b)

Ar perzh-se a rediñ e vefe null pep fonksion logarirm en 1. Lâret e vez ez eo al logaritm ur morfegezh eus (\R_+^{*},\cdot) da (\R,+).

Ur fonksion logaritm a zo ur vijektadenn eus \R^*_+ war \R ha diagenter 1 dre ar fonksion-se a zo anvet diaz al logaritm.

Ez resiprokel, ma z'eo b un niver real pozitivel-strizh ha disheñvel eus 1, ez eus neuze ur fonksion logaritm nemetken gant an talvoud 1 e b. Anvet e vez ar fonksion-mañ al logaritm a ziaz b, skrivet \log_b(x) Ar fonksionoù logaritm a zo evel-se resiprokennoù ar fonksionoù eksponantel.

Ar fonksionoù logaritm anavezetañ eo al logaritm naturel pe neperian a ziaz e, al logaritm degel (a ziaz 10, implijet-tre e fizik/kimiezh) hag al logaritm binarel (a ziaz 2, implijet e stlenneg, dreist-holl e teorienn ar gomplekeselezh). Al logaritmoù a zo bet ivez hollekaet evit an niveroù kompleksel (logaritm kompleksel) dre astenn analizerezh hag enbarzhet e teorienn ar strolladoù (logaritm diskret) dre analogiezh gant analizerezh.

Istor[kemmañ]

E fin an XVIvet kantved, diorroadur an astronomiezh, ar bageal hag ar jedadennoù bankel a lak ar vatematikourien da glask doareoù evit simplaat ar jedadennoù ha dreist-holl an heulliennoù aritmetikel ha geometrek. Ar vatematikourien Paul Wittich (1546-1586) ha Christophe Clavius, el levr De Astrolabio a sav ur kenskriverezh etre sammadenn ha produ daou niveroù bihanoc'h eget 1 oc'h implij an liammadennoù trigonometrek :  x \times y=\sin(a)\times \cos(b)=\frac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}.

Simon Stévin, merour hollek an arme hollandad, a sav taolennoù jedadenn intersest aozañ. Al labour-mañ a zo heulier gant Jost Bürgo a embann e 1620 el levr Aritmetische und geometrische Progress-tabulen, un daolenn kenskrivañ etre n ha 1,0001^n. Sammad ar golonenn gentañ a glot neuze gant liesad an eil golonenn.[1]

E 1614, John Napier (pe Neper) a embann e seul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ne soñj ket emañ o krouiñ fonksionoù nevez, met taolennoù kenskrivañ nemetken (logos (aze) = daremenpred, arithmeticos = niver) etre div serienn talvoudoù gant ar perc'hentiezh a-heul : ul liesad en ur golonenn a golt gant ur sammad en un hini all. An taolennoù kenskrivañ-se a zo bet krouet evit simplaat ar jedadoù trigonometriezh a zeu a-well e jedadoù astronomiezh hag implijet un nebeut bloavezhioù goude gant Kepler. An notadur Log evel beradur logaritm a zeu a-well e 1616 gant un troadur saoz eus oberenn Neper[2]. E 1619 ez eo embannet un oberenn ues Neper goude e varv : Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, lec'h ma zispleg penaos sevel un daolenn logaritm (gwellet Taolenn logaritm ).

Kendalc'het e vo e labour gant ar matematikour saoz Henry Briggs a embann e 1624 e daolennoù loagritm dekvedennel (Arithmética logarithmica) ha diskriv a ra implij an taolennoù vit jediñ ar sinus, adkavout ankloù tangiantennoù... Al logaritm dekvedennel a zo a-wechoù anvet logaritm Briggs en e enor. Ar memes bloaz, Johann Kepler a embann Chilias logarithmorum savet oc'h implijout un hentenn geometrek[3]. Taolenn Briggs a ginnig al logaritm gant 14 sifr eus niveroù etre 1 ha 20 000 hag etre 90 000 ha 100 000. E labour a zo klokaet gant Ezechiel de Decker hag Adriaan Vlacqa embann e 1627 un daolenn logaritm klokaet[4].

E 1647, pa labour Grégoire de Saint-Vincent war karrezadur an hiperbolenn, lakaat a ra anat ur fonksion nevez hag a zo primitivenn ar fonksion x \mapsto 1/x o vezañ nul e 1 met Huygens eo, a zizolo e 1661 ez eo ar fonksion-se ur fonksion logaritm ispisial : al logaritm natural.

Meizad ar fonksion, an darempred etre ar fonksion eksponantel hag ar fonksion logaritm a vo dizoloet diwezatoc'h goude labour Leibniz war meizad ar fonksion (1667).

Logaritm dekvedennel[kemmañ]

Pennad pennañ : Logaritm dekvedennel

Al logaritm ar simplañ da implij er jedadennoù niverennel eo. Notennet eo log pe \log_{10}. Kavet e vez anezhañ e krouadurioù ar skeulioù logaritm, an daveeroù hanter-logaritmek pe daveeroù log-log, er reolenn jediñ, e jedadenn ar pH, e unanenn an desibel.

Resisaat a ra da peseurt galloud ez eo ret kreskaat 10 evit kavout an niver orin. Da skouer :

ma x=10, log(10) = 1 peogwir 101 = 10
ma x=100, log(100) = 2 peogwir 102 = 100
ma x=1000, log(1000) = 3 peogwir 103 = 1000
ma x=0,01, log(0,01) = -2 peogwir 10-2 = 0,01

Talvoud logaritm nivernennoù all eget galloudoù eus 10 a c'hooulenn un talvoud nesaet. Ar jedad eus \log(2) da skouer a c'hell bezañ graet gant an dorn, o verzout ez eo 2^{10} \approx 1000, neuze 10\log(2) \approx 3 neuze \log(2) \approx 0,3.

Logaritm neperian[kemmañ]

Pennad pennañ : logaritm neperian

Al logaritm neperian pe logaritm natural, a zo al logaritm gant an derevadur ar simplañ. Ar fed m'eo primitivenn x \mapsto 1/x en deus roet dezhañ e dalvoudegezh. Notennet eo « Log » pe « ln ». Hogen, pa 'z eo bet ret klask diaz al logaritm-se, ar vatematikourien n'int ket kouezhet war un talvoud gwall simpl : diaz al logaritm neperian a zo un niver, na dekvedennel, na rasional, na algebrek : an niver trehontek e \approx 2,718\ 281\ 828\ 459\ 045\ 235\ 360\cdots eo.

Perzhioù ar fonksionoù logaritm[kemmañ]

Perzhioù algebrek ha savadur[kemmañ]

Pennad pennañ : Identelezhioù logaritmek

Evit pep niver real a pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, al logaritm a ziaz a : \log_a a zo ar fonksion kedalc'hus termenet war \R^*_+ o wiriañ :

Evit pep niver x hag y pozitivel strizh,
\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\,

ha

\log_a(a) = 1\,

Gant an dermenadenn-se ez eus tu kavout buhan an termenadennoù a-heul :

\log_a(1) = 0\,
\log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)\,
\log_a(x^n)=n \log_a(x)\,
\log_a(a^n) = n\, evit pep niver anterin natural n, hag evit pep niver anterin relativel n
\log_a(a^r) = r\, evit pep niver rasional r.

Evel pep niver real pozitivel strizh x a c'hell bezañ kemmeret evel bevenn termoù ar furm a^{r_n}, lec'h ma 'z eo (r_n) un heulienn o konvergiñ war-zu un niver real \ell, determinet e vez \log_a(x) evel bevenn r_n.

Pegementiñ[kemmañ]

Daou fonksionoù logaritm a zo disheñvel hervez un digemm lieskemmentadek : evit pep niver real pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, a ha b, bez ez eus un niver real k gant

\log_b = k\,\log_a

An niver real k o talvezout \frac{1}{\log_a(b)}

\log_b a zo ar fonksion kendalc'hus a dreuzfurm ar produ e sammad hag a zo kevatal da 1 e b, met, evit pep niver real k nann nul, ar fonksion k\log_a a zo ivez ur fonksion kendalc'hus, nann digemm a dreuzfurm ur produ e sammad hag ar fonksion-se a zo kevaal da 1 e b ma ha nemet ma

k=\frac{1}{\log_a(b)}.

An holl fonksionoù logaritm a c'hell neuze bezañ eztaolet gant sikour unan nemetken, unan a vez ouiet an derevenn dija : ar fonksion logaritm neperian. Evit pep niver real a pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, hag evit pep niver real x pozitivel strizh , kavet e vez :

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

Derevenn[kemmañ]

Ar fonksion \log_a a zo derevapl war \R_+^* gant an derevadur :

\log_a'(x) =  \frac{1}{x\ln(a)}

Monotonel ha kreskus-strizh eo neuze pa vez a brasoc'h eget 1, digreskus en degouezh kontrol.

Ur vijektadenn eo gant ur resiprokenn hag a zo ar fonksion x \mapsto a^x.

Kuriusted matematikel[kemmañ]

Gant un error bihanoc'h eget 0,6 % ez eo :

\log_2(x) \approx \log_{10}(x) + \ln(x)\,.

Daveoù[kemmañ]

  1. Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Edition Didier (1980)
  2. Math93:Origine et histoire des symboles mathématiques
  3. (en) Eztaoladenn Chilias Logarithmorum war Watson Antiquarian books
  4. Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Embannadurioù Didier (1980)